問題描述：

實驗與探究：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對應的邊分別用a、b、c表示．

（1）如圖1，在△ABC中，∠A=2∠B，且∠A=60°．易證：a2=b（b+c）

（2）如果一個三角形的一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2倍，我們稱這樣的三角形為“倍角三角形”．本題第一問中的三角形是一個特殊的倍角三角形，那么對于任意的倍角△ABC，如圖2，∠A=2∠B，關系式a2=b（b+c）是否仍然成立？并證明你的結論．

歸納與發(fā)現(xiàn)

由以上的證明，可以得到關于倍角三角形的一個結論：一個三角形中有一個角等于另一個角的兩倍，2倍角所對邊的平方等于一倍角所對邊乘該邊與第三邊的和．

運用與推廣

（3）（2009年全國初中數(shù)學聯(lián)賽）在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的2倍，且AB=7，AC=8．則BC=______

（A）7

2 （B）10 （C）

105 （D）7

3

（4）是否存在一個三邊長恰是三個連續(xù)正整數(shù)，且其中一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角2倍的△ABC？證明你的結論．

侯珺回答：

　?。?）證明：∵∠A=2∠B，且∠A=60°，

　　∴∠B=30°，

　　∴∠C=180°-∠A-∠B=90°，

　　∴a2+b2=c2，c=2b，

　　∴a2=c2-b2=（2b）2-b2=3b2=b2+2b2=b2+bc=b（b+c）；

　?。?）關系式a2=b（b+c）仍然成立．

　　證明：如圖2所示，

　　∵△ACD為等腰三角形，

　　∴∠ACD=∠D，

　　∵∠BAC為△ACD的一個外角，

　　∴∠BAC=∠D+∠ACD=2∠D，

　　∵∠BAC=2∠B，

　　∴∠B=∠D，

　　∴CD=BC=a，∠B=∠ACD，

　　∴BD=AB+AD=b+c，

　　又∵∠D為△ACD與△CBD的一個公共角，

　　∴△ACD∽△CBD．

　　∴CDBD

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