雙自旋機(jī)構(gòu)（Dual Spin Device）是一種姿態(tài)控制系統(tǒng)，其基本構(gòu)成為一個(gè)剛體航天器和一個(gè)鑲嵌其中的飛輪。飛輪可繞某物體坐標(biāo)系中的固定軸旋轉(zhuǎn)以改變整體的角動(dòng)量分配，從而改變航天器其余部分的角動(dòng)量。

結(jié)構(gòu)與運(yùn)動(dòng)方程

雙自旋機(jī)構(gòu)的基本結(jié)構(gòu)如下所示。

一個(gè)視為剛體的航天器（不一定具有對(duì)稱(chēng)性）內(nèi)部鑲嵌有飛輪，飛輪轉(zhuǎn)軸固聯(lián)在?b1^b1上。航天器（不含飛輪）的慣量張量為[Is][Is]，角速度為?ω^ω。飛輪慣量張量為[Iw][Iw]，繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為IwIw，相對(duì)于航天器的角速度大小為ΩΩ（按右手螺旋定則確定正負(fù)）。則，整個(gè)系統(tǒng)的慣量張量[I][I]和角動(dòng)量?H^H可表示為：

[I]=[Is]+[Iw][I]=[Is]+[Iw] ?H=[I]?ω+IwΩ?b1^H=[I]^ω+IwΩ^b1

根據(jù)角動(dòng)量定理： ˙H=?L˙H=^L 且利用角速度的性質(zhì)，對(duì)角動(dòng)量求導(dǎo)有： ˙H=Nd[I]?ωdt+Nd(IwΩ?b1)dt=Bd[I]?ωdt+?ω×[I]?ω+Bd(IwΩ?b1)dt+?ω×(IwΩ?b1)=[I]˙ω+[?ω][I]?ω+Bd(IwΩ)dt?b1+IwΩ?ω×?b1 令h=IwΩ，h為一個(gè)標(biāo)量，且與參考系無(wú)關(guān)。有： ˙H=[I]˙ω+[?ω][I]?ω+˙h?b1+h?ω×?b1=[I]˙ω+[?ω][I]?ω+˙h?b1+hω3?b2?hω2?b3 在無(wú)力矩運(yùn)動(dòng)的情況下，?L=0，因此： [I]˙ω=?[?ω][I]?ω?˙h?b1?hω3?b2+hω2?b3 即為雙自旋機(jī)構(gòu)的旋轉(zhuǎn)方程。展開(kāi)，有： [I1000I2000I3][˙ω1˙ω2˙ω3]=?[(I3?I2)ω2ω3(I1?I3)ω1ω3(I2?I1)ω1ω2]+IW[?˙Ω?Ωω3Ωω2] 寫(xiě)成標(biāo)量形式： {˙ω1=I2?I3I1ω2ω3?IWI1˙Ω˙ω2=I3?I1I2ω1ω3?IWI2ω3Ω˙ω3=I1?I2I3ω1ω2?IWI3ω2Ω

穩(wěn)定性分析

根據(jù)極跡圖，若剛體圍繞轉(zhuǎn)動(dòng)慣量次大的軸旋轉(zhuǎn)，會(huì)出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象。雙自旋機(jī)構(gòu)克服了這一點(diǎn)。

此處的“穩(wěn)定”指的是長(zhǎng)時(shí)間角速度維持不變。設(shè)穩(wěn)定時(shí)角速度為?ωe，則˙ωe=0。在飛輪滿(mǎn)足特定轉(zhuǎn)速條件時(shí)，雙自選機(jī)構(gòu)能實(shí)現(xiàn)航天器繞著?b1軸旋轉(zhuǎn)的任意角速度下的穩(wěn)定，航天器繞b1軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量無(wú)特別要求。

設(shè)平衡狀態(tài)下飛輪相對(duì)角速度不變，即： ˙Ω=0

設(shè)角速度有一小擾動(dòng)： ?ω=?ωe+δ?ω 平衡狀態(tài)： {˙ωe1=I2?I3I1ωe2ωe3=0˙ωe2=I3?I1I2ωe1ωe3?IwI2ωe3Ω=0˙ωe3=I1?I2I3ωe1ωe2+IwI3ωe2Ω=0 將?ω代入，并忽略二次及以上高階項(xiàng)。注意到航天器繞著?b1軸旋轉(zhuǎn)，有ωe2=ωe3=0。代入化簡(jiǎn)，有： {δ˙ω1=0δ˙ω2=I3?I1I2ωe1δω3?IwI2δω3Ωδ˙ω3=I1?I2I3ωe1δω2+IwI3δω2Ω 由后兩式，可寫(xiě)出關(guān)于ωe2的獨(dú)立的微分方程： δ¨ω2+(I1?I3I2ωe1+IwI2Ω)(I1?I2I3ωe1+IwI3Ω)δω2=0 類(lèi)比于彈簧-振子系統(tǒng)，在一次項(xiàng)系數(shù)為正時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。令ˉΩ=Ωωe1，有： ω2e1I2I3(I1?I3+IwˉΩ)(I1?I2+IwˉΩ)>0 可用Ω=0的情況進(jìn)行驗(yàn)證。此時(shí)雙自旋機(jī)構(gòu)退化為一般剛體，上式要求： {I1>I3I1>I2,or{I1<I3I1<I2 即?b1軸所對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在三軸中為最大或最小。這與極跡圖的結(jié)論相符。 對(duì)于一般情況，有要求： {I1>I3?IwˉΩI1>I2?IwˉΩ,or{I1<I3?IwˉΩI1<I2?IwˉΩ 可以依據(jù)不等式進(jìn)行相對(duì)角速度ˉΩ的正負(fù)性判斷。最終的判斷結(jié)果如下所示。

消旋研究

以下為一回穩(wěn)過(guò)程的經(jīng)典案例。

假設(shè)飛輪初始相對(duì)航天器靜止。航天器圍繞?b2或?b3軸做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。飛輪逐漸轉(zhuǎn)動(dòng)，直到其角動(dòng)量大小與初始航天器的角動(dòng)量大小相同。

對(duì)整個(gè)體系，合外力矩為零，有： H=|?H(t0)| 飛輪的角動(dòng)量隨時(shí)間線性增長(zhǎng)，有： ˙h=Iw˙Ω 因此，總的機(jī)動(dòng)時(shí)間為： Tmax=HIw˙Ω 理想狀態(tài)下，飛輪占有了航天器所有的角動(dòng)量，而體系角動(dòng)量守恒，因此航天器剩余部分角動(dòng)量為零，航天器實(shí)現(xiàn)消旋。然而，因?yàn)樵撨^(guò)程只控制了角動(dòng)量的大小，而沒(méi)有控制方向，因此矢量相減下航天器剩余部分仍有角動(dòng)量，不能徹底消旋。情景如下圖所示。

其中?Hw為飛輪角動(dòng)量，而?HB為消旋后航天器剩余部分的角動(dòng)量。θ被稱(chēng)為“圓錐角”（Coning Angle）。在圓錐角為零時(shí)?HB=0，而θ=0并不能被保證。

通過(guò)模擬可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)機(jī)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)，即飛輪加速越緩慢時(shí)，圓錐角就越小，消旋也就越徹底。下圖即顯示了仿真結(jié)果。[1]藍(lán)色曲線為200秒機(jī)動(dòng)下的圓錐角變化，紅色為1000秒下的。

極跡圖研究

圓錐角的出現(xiàn)可用極跡圖來(lái)解釋。整個(gè)消旋過(guò)程中，航天器非飛輪部分的能量為： E=12(I1ω21+I2ω22+I3ω23) 整體的角動(dòng)量有： H2=H21+H22+H23 角動(dòng)量守恒，在物體坐標(biāo)系中大小不變。因此有角動(dòng)量球。

另有能量橢球： (H1?h)22I1E+H222I2E+H232I3E=1 兩者交線即為角動(dòng)量矢量能移動(dòng)范圍。而整個(gè)消旋過(guò)程中，能量橢球一直在變化（如下圖所示[1]）

評(píng)價(jià)

雙自旋機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)了一般剛體不能實(shí)現(xiàn)的繞任意軸達(dá)到穩(wěn)定的要求，也在不要求調(diào)整時(shí)間的情況下具有較好的消旋特性，因此常作為航天器動(dòng)量交換機(jī)構(gòu)的理論基礎(chǔ)。反作用輪即是在其基礎(chǔ)上改進(jìn)而得出的。

姿態(tài)力學(xué)

已有詞條

姿態(tài)力學(xué)|坐標(biāo)系|剛體|質(zhì)心|右手定則

方向余弦矩陣|歐拉角|主旋轉(zhuǎn)矢量|歐拉四元數(shù)|吉布斯矢量|經(jīng)典羅德里格斯參數(shù)|修正羅德里格斯參數(shù)

俯仰角|滾轉(zhuǎn)角|偏航角|歐拉角序列3-2-1

歐拉角序列1-2-1|歐拉角序列1-2-3|歐拉角序列1-3-1|歐拉角序列1-3-2|歐拉角序列2-1-2|歐拉角序列2-1-3|歐拉角序列2-3-1|歐拉角序列2-3-2|歐拉角序列3-1-2|歐拉角序列3-1-3|歐拉角序列3-2-3

角速度|凱萊變換|奇點(diǎn)|萬(wàn)向節(jié)鎖

歐拉方程

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量|角動(dòng)量|動(dòng)能|進(jìn)動(dòng)|章動(dòng)|無(wú)力矩運(yùn)動(dòng)

動(dòng)量交換機(jī)構(gòu)|重力梯度|潮汐鎖定|極跡圖

李雅普諾夫穩(wěn)定|飽和|未知干擾力矩|增益選擇

雙自旋機(jī)構(gòu)|剛體消旋問(wèn)題|剛體定姿消旋問(wèn)題|磁控制|悠悠球消旋

剛體追蹤問(wèn)題|剛體定姿追蹤問(wèn)題

TRIAD方法|Q方法